Las matemáticas de la música

¿De dónde podría surgir la preferencia universal por ciertas combinaciones de frecuencias sonoras y no por otras? Tal vez la razón deba buscarse en la manera como nuestro sistema cognitivo procesa la información auditiva.

El teclado de un Bösendorfer imperial, con sus 88 teclas de marfil y ébano, luce sublime y misterioso. Si pulsamos tres de sus teclas blancas: el do central, el mi y sol que siguen a su derecha, entonces un conjunto de cuerdas en la caja de resonancia comienza a vibrar, la oscilación se amplifica en los puentes tonales y a nuestros oídos llega un sonido de perfecta y diáfana armonía. Pero otra sensación sonora se produce cuando ese mismo do se acompaña de la tecla negra que se encuentra justo a su derecha, y de la nota re que le sigue: de la majestuosa estructura emana ahora un sonido destemplado y disonante.

Si experimentamos un poco más, descubriremos que el do central y aquel más próximo a su izquierda tienen curiosamente el mismo carácter sonoro (principio de la octava), solo que el timbre de esta segunda nota se percibe más grave que el de su compañera. Vemos luego que eso mismo ocurre con cualquier par de notas separadas en el teclado por esa misma distancia.

Cuando uso los adjetivos “armónico” y “disonante” me refiero, por supuesto, a un juicio estético particular, sin duda condicionado por resabios que provienen de una educación musical ceñida a moverse dentro de las escalas diatónicas tradicionales. Pero, ¿qué tan universales pueden ser estos juicios? La pregunta plantea uno de los mayores problemas en la psicología de la percepción auditiva.

Sin duda estamos acostumbrados a ciertos patrones, a formas armónicas que tienen su origen en la tradición musical europea, tan antigua como Pitágoras y su mítico monocordio. Pero, como suele suceder con tantos otros rasgos humanos, es razonable suponer que puedan existir preferencias armónicas universales, pues sin importar la infinita variedad cultural, compartimos un mismo aparato cognitivo y unos mismos algoritmos fundamentales encargados de procesar la información auditiva que llega al cerebro desde nuestros tímpanos.

También los animales muestran preferencias que curiosamente coinciden con criterios estéticos humanos. El canto de muchas aves se percibe armonioso y placentero a nuestros oídos. Y aun el irritante zumbido de las alas del mosquito, diferente en la hembra y en el macho, resulta estar en una relación de frecuencias de 1 a 1,5, una quinta perfecta de la escala diatónica. ¿Coincidencia? Tal vez, pero los etólogos saben que la hembra al batir sus alas lo hace para atraer al mejor macho, o al menos aquel con el mejor oído, uno capaz de hacerle la “segunda voz” en el tono exacto.

Los antiguos griegos ya conocían el principio de la octava musical. También tenían familiaridad con el llamado intervalo justo de quinta. El escritor romano Ancio Boecio le atribuye a Pitágoras ese descubrimiento: dos cuerdas, una de ellas que tenga dos tercios de la longitud de la otra, generan un sonido armonioso cuando vibran de manera simultánea. El mismo fenómeno se observa si las longitudes de las cuerdas guardan proporciones determinadas por enteros pequeños. Esta simple observación constituye el punto de partida para la construcción de la escala pitagórica, piedra angular de toda la teoría musical de Occidente.

Pero un piano de concierto, aun con sus 52 teclas blancas y 36 negras, solo puede reproducir una porción infinitesimal de todo el registro pitagórico. A diferencia de la escala tradicional cromática, la construcción musical de Pitágoras no conforma un sistema circular, sino una espiral infinita. En ella encontramos notas como si# (si sostenido) y la(bb) (doble bemol) que sonarían extrañas e irreconocibles para un oído contemporáneo.

Por ello resulta imposible reproducir una escala pitagórica en un instrumento de teclado. Sin embargo, los constructores de instrumentos no cedieron en su intención de aproximarse al ideal griego y fabricaron artefactos descomunales para acomodar tantas notas en una misma octava como fuera posible. Entre los más extravagantes se cuenta el harmonium enarmónico, construido en 1853, capaz de albergar 87 teclas en siete niveles y 53 notas por octava. Y también el monstruoso orthotonophonium, en el cual se acomodan 72 notas en cada octava.

Pero el mayor defecto de la escala pitagórica reside en el hecho de que sus semitonos no se encuentran igualmente distanciados. El problema fue resuelto en Oriente, en el año 400 a. C., por el matemático chino He Chengtian, quien ideó una escala temperada o uniforme mucho antes de que la misma solución se redescubriera en Europa, en el siglo XVII. De hecho, la escala temperada heptatónica hizo parte de la tradición musical china durante siglos, antes de imponerse la pentáfona actual que caracteriza la música oriental.

Y aunque esas escalas foráneas puedan parecernos peculiares, el pentafonismo sigue en realidad reglas de construcción casi idénticas a las utilizadas por Pitágoras. De hecho, en el piano las escalas pentatónicas se pueden ejecutar sin problema. En el jazz y la música clásica occidental se utilizan con frecuencia. El mandarín maravilloso, de Béla Bartók, y El ruiseñor, de Ígor Stravinski, contienen distintos pasajes pentatónicos. Una mezcla de armonía clásica y pentafonismo puede escucharse en Das Lied von der Erde, de Gustav Mahler.

Pero la música se compone no de secuencias aisladas de notas, sino de combinaciones de notas simultáneas. En la teoría musical la armonía se logra superponiendo terceras sobre una misma nota, llamada la tónica. De estas tríadas, las denominadas mayores y menores se consideran las más perfectas o más “consonantes”. Reglas para construir esas tríadas fundamentales se conocían desde la Edad Media, al menos de manera intuitiva. Las técnicas del contrapunto que se desarrollaron durante aquella época, y más tarde en el Renacimiento, sentaron las bases para toda la teoría musical europea que se perfeccionó luego en el Barroco temprano.

Hasta comienzos del siglo XX, muchos daban por sentado que el sistema diatónico occidental era de alguna manera el más natural. En sus investigaciones sobre la psicología de la audición, el gran físico y fisiólogo alemán Herman von Helmholtz creyó descubrir las bases científicas para justificar la creencia. Sin embargo, los músicos de comienzos de siglo comenzaron a experimentar con fórmulas prohibidas hasta entonces. En su célebre tratado sobre armonía, Arnold Schönberg propuso un sistema atonal con el cual desafiaba las normas de la armonía clásica. No obstante, como él mismo confesaría más tarde, la libre atonalidad fue llevándolo paulatinamente a un callejón sin salida, pues cada composición parecía depender de reglas armónicas particulares, no pocas veces escogidas ad hoc.

Si la música dodecafónica mostró la posibilidad de universos insospechados, también puso en evidencia las dificultades inherentes que existen a la hora de establecer orden en ese nuevo cosmos. Nuestro aparato cognitivo, debidamente entrenado, puede llegar a descifrar ese mundo extraño, aunque quizá nunca lleguemos a considerarlo “natural”, de manera similar a como podemos concebir geometrías hiperbólicas o lorenzianas, siempre ajenas a nuestra percepción euclídea del espacio.

¿De dónde entonces podría surgir la preferencia universal por ciertas combinaciones de frecuencias sonoras y no por otras? Tal vez la razón deba buscarse en la manera como nuestro sistema cognitivo procesa la información auditiva.

Sabemos que el movimiento de una cuerda vibrante se puede descomponer como una combinación de movimientos periódicos muy simples, llamados modos fundamentales. El análisis de Fourier o análisis espectral es una herramienta matemática que permite estudiar la manera precisa como los modos fundamentales pueden combinarse para reproducir de manera fiel el movimiento de una cuerda vibrante.

Cada modo fundamental posee una frecuencia propia. El primero de ellos, el dominante, determina la frecuencia que escuchamos cuando pulsamos la cuerda de una guitarra o percutimos la tecla de un piano. Los modos restantes contribuyen con múltiplos enteros de la frecuencia fundamental, y son los llamados armónicos. El primero de ellos corresponde al doble de la frecuencia del modo dominante; es decir, a la octava. El segundo, cuya frecuencia es tres veces la del modo fundamental, corresponde a la quinta perfecta. El cuarto repite la octava; el quinto corresponde a la tercera y el sexto nuevamente reproduce la quinta. En resumen, los modos fundamentales de vibración coinciden perfectamente con la escala armónica, y los primeros de ellos, los más audibles, ¡generan precisamente la tríada mayor!

Todo ello parecería coincidencia o pura numerología si no fuera porque los neurólogos han señalado cómo el procesamiento de las señales auditivas en la cóclea obedece a mecanismos propios del análisis espectral. Hoy se sabe que el desplazamiento de la membrana basilar responde a las distintas frecuencias de manera muy específica. Cuando escuchamos una serie de sonidos complejos, la membrana realiza en efecto un “análisis de Fourier”, mediante el cual descompone los sonidos complejos en sus modos fundamentales. Las distintas frecuencias de la señal acústica están asociadas con centros específicos, primero en la cóclea y luego en diversos núcleos neuronales. La relación motora y neurológica es además monótona; es decir, conserva el orden de las frecuencias.

Y no solo hay argumentos fisiológicos para sospechar la universalidad en las preferencias por ciertos patrones musicales. Los argumentos históricos son igualmente fuertes. Las escalas heptatónicas ya se mencionan en los escritos de Aristoxenus, en el siglo IV antes de Cristo, mucho antes de ser utilizadas en China. Y las pentáfonas aparecieron también de manera independiente en el norte de Europa, India, Mongolia, Etiopía, Somalia, Japón, el sureste asiático y América. Como suele suceder, el carácter universal de ciertos comportamientos o preferencias humanas se manifiesta a modo de convergencias evolutivas culturales, imposibles de explicar sin suponer la existencia de una naturaleza humana dictada por fuerzas que se esconden en lo más profundo de nuestro genoma.

Resulta paradójico que hoy tengamos una comprensión razonable de la materia a escala microscópica, y del universo, a escala cósmica, pero que ignoremos casi por completo el origen y la razón de aquello que nos distingue como humanos: los orígenes del humor, el lenguaje, la música y las artes son tan misteriosos hoy como las dimensiones del cosmos lo eran para el hombre de las cavernas.