A los 92 años, una matemática encontró una aprendiz y un problema por resolver

oan trabajó a tiempo parcial como ingeniera mientras criaba a tres hijos, pero con el tiempo el trabajo perdió sentido para ella. Aun así, tenía la plena intención de volver a él cuando, a los 34 años, comenzó a tomar cursos nocturnos de matemáticas en NYU para “pulir mi mente”, como ella misma lo describió. Aprobó el examen de calificación para el doctorado sin darse cuenta de para qué era la prueba. “Pensé, o arruino el posgrado, o arruino mi vida”, dijo.

Al obtener una beca, la usó para pagarle a una niñera; ahora, podía sentarse todo el día y mirar por la ventana, pensando en topología. Décadas más tarde, sus hijos bromeaban entre ellos con que estaban “castigados” por no entender exactamente a qué se dedicaba su madre ni por qué aquello absorbía tanto su atención.

Un interés eran los nudos, que en topología se definen como hebras únicas que se enlazan y se retuercen sobre sí mismas de formas que no pueden deshacerse. Su flexibilidad los hace engañosos. Una pregunta importante en la teoría de nudos es saber si dos nudos que se ven distintos son en realidad el mismo. Como sabe cualquiera que haya desenredado un collar, incluso el peor enredo eventualmente se desenrollará en un círculo: un “no nudo”. Para descifrar su verdadera naturaleza, los matemáticos traducen las formas en álgebra. Las expresiones llamadas polinomios ayudan a identificar los nudos como únicos, dándole solidez a esas formas ondulantes.

Las trenzas, en cambio, se definen como múltiples hebras superpuestas que no forman lazos, sino que se salen de la página como las vías que entran y salen de una estación de tren. Lo que las hace especiales es que puedes hacer cálculos con ellas directamente: álgebra con imágenes. El estudio de las trenzas se consideraba un ”área marginada” cuando Birman completó su doctorado en 1968. Pero esto le vino bien a ella, que a los 41 años buscaba su primer empleo académico, en un momento en que el rechazo por ser del “sexo equivocado” no era motivo de escándalo. Le dio una oportunidad.

Se incorporó al cuerpo docente del Barnard College y rápidamente se hizo conocida por conectar la poderosa álgebra de las trenzas con otros temas en el mundo de las matemáticas, desde los nudos hasta el caos. Su oficina en el campus de Columbia se convirtió en un punto de paso obligado. En 1984, cuando el matemático Vaughan Jones descubrió un nuevo polinomio mientras estudiaba trenzas, acudió a Birman para averiguar si podía ser útil. Ella rápidamente lo ayudó a ver cómo podía distinguir un nudo de otro: el santo grial de ese campo. Cuando Jones más tarde recibió la Medalla Fields, otorgada solo a matemáticos menores de 40 años, fue Birman quien lo presentó.

Las mujeres en las matemáticas a veces se aislaban, notó. Ella no lo aprobaba; de hecho, le molestó cuando Barnard y Columbia no se fusionaron como se esperaba. Las mujeres la encontraron de todos modos. Lo que ella quería era ver a sus “hijas matemáticas” realmente hacer matemáticas, descubriendo un mundo de estructura oculta que estaba disponible para todos. Cuando una de esas hijas, una estudiante universitaria con problemas de riñón (Birman no sabía cuán grave era la situación), murió poco después de que empezaran a trabajar juntas, lo que la corroía décadas más tarde fue que no había presionado más para lograr progresos. “La decepcioné”, dijo.

Después de eso, había jurado no aceptar estudiantes más jóvenes, hasta Vasudha, quien ahora le enviaba correos electrónicos para organizar una reunión cada vez que terminaba un capítulo del Herstein. Avanzaban rápidamente. Para principios de otoño, ya habían terminado ese libro, y pronto pasaron al propio libro de Birman sobre trenzas, considerado la obra fundamental del campo. Sus conversaciones, se dio cuenta Birman, eran tan estimulantes como cualquiera que obtendría en un viaje en taxi de 17 dólares hasta Columbia.

Con el tiempo, Birman dirigió a Vasudha a un capítulo en el que describía una manera especial de representar las trenzas con grandes conjuntos de polinomios. Conocida como la representación de Burau, venía con una pregunta: si se perdía o no información en esta traducción de formas a álgebra. A esto se le conoce como “fidelidad”. Se sabía que Burau era fiel para trenzas con tres o menos hebras, e infiel para trenzas con cinco o más; en ese punto, las trenzas se vuelven demasiado complicadas de manejar.

Eso dejaba cuatro hebras. Durante casi tanto tiempo como Birman llevaba viva, nadie había logrado llegar a ninguna conclusión sobre si Burau sería fiel en ese caso o no. Los matemáticos ni siquiera podían decidir qué camino era más probable. Emprender una demostración en cualquiera de las dos direcciones era como saltar de un avión, sin saber si uno llevaba puesto un paracaídas o no.

Birman había decidido muchos meses antes que saltarían. Poco después de que comenzara la pandemia, sugirió que Vasudha comenzara dándole otro vistazo al bien establecido caso de las tres hebras. Quizás, si lograba encontrar una nueva forma de demostrarlo, verían un camino que otros habían pasado por alto.

Vasudha nació no muy lejos de Riverside Drive, en el Hospital NewYork-Presbyterian/Columbia. Pero su familia se había mudado a India cuando ella tenía 3 años, y regresó a Nueva York cuando estaba en octavo grado. Delhi era donde estaban sus amigos de toda la vida, donde jugaba fútbol durante horas y animaba al equipo de críquet de Bengaluru; un póster del equipo colgaba ahora en la pared de su habitación en Manhattan.

Su decisión de enviar el correo electrónico fue casi una casualidad: había mirado la página del profesorado de Columbia, visto el nombre de Birman cerca de la parte superior, leído un artículo sobre su trabajo y luego pensó en comunicarse. A sus padres les sorprendió escuchar que lo había hecho y los desconcertó aún más cuando la matemática respondió. La materia favorita de Vasudha en la escuela, bromeaba la familia, siempre había sido el recreo. Pero en cuanto a la elección de una obsesión adolescente, no era lo peor que podían imaginar. Sin embargo, no hablaba mucho de matemáticas con sus padres a medida que los detalles se volvían más complicados. Solo con la “profesora Birman”.

Con la llegada de la pandemia, ahora podía sentarse durante horas en la cama a todo volumen con Pink Floyd mientras pensaba en matemáticas. No entendía muchos de los artículos que Birman le había dado. Pero no le molestaba no saber. Si se topaba con una fórmula o concepto desconocido, podía intentar buscarlo, o guardar la idea para más tarde. Bajo la dirección de Birman, comenzó a tomar cursos universitarios, que recientemente estaban en línea. Lo mismo ocurría con el bachillerato. Cuando necesitaba concentrarse en un problema de matemáticas, sus profesores ahora venían con un botón de silencio.

 

Las reuniones con su mentora continuaron por Zoom, superando un colapso repentino en la calle y una cirugía para un marcapasos. Para cuando pudieron reunirse en persona, inicialmente en un banco del Riverside Park, ya habían avanzado. Vasudha estaba formulando una nueva forma de demostrar la fidelidad para las trenzas de tres hebras usando un tipo especial de polinomio. Era una elección poco usual, porque el polinomio había desempeñado un papel en demostrar por qué Burau era infiel para trenzas de cinco o más hebras. Ahora creía que le ayudaría a demostrar por qué el caso de las cuatro hebras era fiel. A Birman le pareció que sonaba como una buena idea.

Sin embargo, era solo una intuición, formada después de meses de visualizar trenzas en su mente. No una demostración. “Tenían un argumento, pero aún no era posible que alguien más lo entendiera”, dijo Dan Margalit, un topólogo de la Universidad de Vanderbilt que revisó su trabajo inicial. Él se mostraba escéptico de que lo lograran, pero animó a Birman a lo largo de sus muchas conversaciones, al no ver daño en la obsesión de la matemática y su aprendiz con este problema interesante, aunque quizás imposible.

Sin embargo, estaba claro que les vendría bien algo de apoyo. Un día durante el último año de secundaria de Vasudha, Birman invitó a Tara Brendle, una de sus últimas estudiantes de posgrado en Columbia, a unirse a ellas en el apartamento y echarle un vistazo a su trabajo. Ella rápidamente detectó un error en uno de sus diagramas; en ese momento, Birman supo que habían encontrado a una colaboradora.

Brendle, que entonces tenía casi cincuenta años y era profesora en la Universidad de Glasgow, dudaba en enfrentarse a Burau, un notorio pozo sin fondo que ella misma aconsejaba a sus propios estudiantes de doctorado evitar. Pero el enfoque de Bharathram era tan interesante, recordó más tarde, que “fui a casa y se lo conté a mis hijos”.

También se sorprendió de lo bien que se llevaba el par, con una intensidad compartida que fácilmente podría confundirse con brusquedad. Temas que otros consideran personales, sobre la familia, los pasatiempos o la música, parecían vivir en la periferia cortés de sus conversaciones. Pero compartían el gusto por las matemáticas, y eso, dijo Brendle, es tan personal como cualquier cosa.

Cuando llegó el momento de que Bharathram pensara en la universidad, Birman tomó las riendas. Escribió una carta a Princeton, “a donde van todos los genios de las matemáticas”. Y eso fue todo. Fue la única universidad a la que Vasudha postuló.

Su futuro asesor, David Gabai, le advirtió a Birman que la mayoría de los estudiantes precoces no funcionan. Acostumbrados a resolver rápidamente los cálculos y a ganar trofeos en competencias de matemáticas, descubren que el largo desierto de años de un problema sin resolver (y quizás irresoluble) no es para ellos, que es mejor programar software de inteligencia artificial o unirse a un fondo de cobertura.

Bharathram colaboró con Birman y otra matemática, Tara Brendle, en su intento de resolver un antiguo problema matemático sobre trenzas de cuatro hebras. Credit…Oliver Farshi para The New York Times

 

Sin embargo, Gabai vio rápidamente que el trabajo de Vasudha con Birman la había moldeado de forma diferente. “Es lo bastante madura para reconocer que si aportas una idea, las probabilidades de que funcione no son tan grandes”, dijo Gabai. “¿Pero qué importa? Simplemente propón otra idea”.

La historia de sus orígenes lo había dejado asombrado. La decisión de Birman de responder al correo electrónico inesperado de Bharathram recordaba, dijo, la respuesta de G. H. Hardy a una carta del matemático indio Srinivasa Ramanujan, mayormente autodidacta, en 1913, un acto que sacó a Ramanujan de la oscuridad y condujo a una asociación casi mítica.

Desde el primer día en la universidad, Bharathram llevaba una vida paralela con sus colaboradoras en Nueva York y Escocia. Sentía que por fin había aprendido suficientes matemáticas básicas como para lograr verdaderos progresos. En consecuencia, la música se había vuelto más fuerte; más de una vez, llamaron a la policía del campus a su dormitorio para encontrar a una joven resolviendo problemas de matemáticas al ritmo de una lista de reproducción de rock progresivo.

De vez en cuando, las tres se reunían en persona para un “campamento de matemáticas” en el apartamento de Birman, donde Brendle ocupaba la habitación de huéspedes. Estaban satisfechas con la nueva demostración de tres hebras y habían pasado a la de cuatro, usando el mismo polinomio para describir los giros y vueltas superpuestos de las hebras. El problema era que ciertos términos del polinomio a veces se anulaban entre sí, lo que implicaba que potencialmente se perdía información, es decir, la infidelidad.

Su tarea era demostrar que nunca se acumulaban suficientes de estas cancelaciones como para causar un problema. Pero demostrar que este era siempre el caso involucraría miles de diagramas dibujados a mano de varias trenzas y cálculos intensivos. Durante las reuniones de Zoom de varias horas, mientras sus dos estudiantes garabateaban diagramas y fórmulas en sus iPads, Birman, ya bien entrada en sus noventa años, se preocupaba en privado por estar quedándose atrás. (Las otras dos afirmaban que no lo notaban). También se preguntaba, de forma más abierta, si estaba lo bastante claro que habían encontrado una solución y debían proceder a hacerla pública. Estaban lejos de tener tiempo de sobra.

Este invierno, un descubrimiento alteró su curso. En lugar de trabajar arduamente caso por caso, podrían cambiar su enfoque para imaginar que sus trenzas de cuatro hebras tenían cinco, un movimiento que Radmila Sazdanovic, teórica de nudos en la Universidad Estatal de Carolina del Norte, llamaría más tarde “súper, súper elegante”. En este mundo de posibilidades de cinco hebras, podrían realizar un ajuste que haría que todas las cancelaciones desaparecieran del polinomio. Verlas desvanecerse fue, dijo Brendle, “el momento más satisfactorio de mi carrera matemática”.

Poco después, consideraron el problema resuelto. Pero aún dudaban en hacerlo público, y pasaron meses retocando el lenguaje para describir su lógica privada. Incluso si colegas como Margalit ahora entendían el resultado, muchas de las ideas eran contraintuitivas y aún no habían sido sometidas a una rigurosa revisión por pares. Pero así es la naturaleza del proceso. Este mes de julio,publicaron el artículo.

En una mañana reciente de verano, Birman se sentó en la gran mesa de roble con un ejemplar de Una mente brillante (“totalmente arruinada” por la película de Russell Crowe, declaró), que estaba releyendo para el club de lectura de su edificio. Gesticulaba con su iPhone mientras hablaba. Al ser una ávida remitente de mensajes de texto, deja que la inteligencia artificial limpie los errores de su dedo índice artrítico.

Una cosa con la que se había dado por vencida en mantenerse al día era su bandeja de entrada de correo electrónico, que había estado desbordada desde la publicación del artículo. A los expertos les tomará meses asimilar por completo el resultado, un proceso que aún podría revelar errores. Pero para los teóricos de los nudos, cualquier resultado nuevo de Joan Birman era emocionante. Que fuera este resultado, uno que tantos habían perseguido durante décadas, resultaba electrizante.

El artículo era “notable en muchos sentidos”, dijo Emmanuel Breuillard, matemático de la Universidad de Oxford, con un método que se basaba en teorías antiguas (algunas que se remontaban al doctorado de Birman) pero con nuevas ideas. Breuillard había estado liderando un esfuerzo para resolver la pregunta con la ayuda de un chatbot de inteligencia artificial. Que los humanos parezcan haberlo resuelto primero, y estas tres humanas en particular, “casi se siente como una bendición”, dijo.

Era un gran resultado, seguro; lo más probable es que fuera uno de los mejores de su carrera, dijo Birman. Sin embargo, sentía su edad, de una manera que no la sentía hace siete años. Su audición, un problema desde que se contagió de paperas por sus hijos, ha estado fallando de nuevo. Una válvula en su corazón se está deteriorando. Existe una cirugía para repararla, pero después de que uno de sus hijos descubrió que la operación conllevaba un alto riesgo de derrame cerebral, “decidimos decir no al derrame”, dijo Birman. La semana anterior, había accedido a usar una silla de ruedas.

A los 99 años, hacer matemáticas “es lo que la mantiene activa”, piensa Margalit. No es diferente a cuando tenía 92 años y le respondió a Vasudha. “La mayor parte de las matemáticas está en nuestra mente, no en los libros de texto”, dijo. “Es un arte, y se transmite. Es altruista en cierto sentido, pero también es egoísta en cierto sentido, porque tenemos unas ideas y una tradición que realmente queremos transmitir”.

Llamaron a la puerta y Bharathram entró. La niña que visitó este apartamento por primera vez hace siete años se había ido, reemplazada por (como Birman lo había expresado con orgullo, fuera de su alcance auditivo) “una mujer alta y elegante” que comenzaba su primer año en la escuela de posgrado. Se dirigía a Filadelfia para el Congreso Internacional de Matemáticos, y le quedaban solo unas horas libres antes de su tren. Birman también iría, dijo, si no estuviera todavía resolviendo el tema de la silla de ruedas.